Hypergéométrie et fonction zêta de Riemann / C. Krattenthaler, T. Rivoal.

Format:

Book

Author/Creator:

Krattenthaler, C. (Christian), 1958- author.

Rivoal, T. (Tanguy), 1972- author.

Series:

Memoirs of the American Mathematical Society ; Volume 186, Number 875.

Memoirs of the American Mathematical Society, 0065-9266 ; Volume 186, Number 875

Language:

French

Subjects (All):

Hypergeometric series.

Functions, Zeta.

Transcendental numbers.

Physical Description:

1 online resource (87 p.)

Edition:

1st ed.

Place of Publication:

Providence, Rhode Island : American Mathematical Society, 2007.

Language Note:

French

Summary:

The authors prove Rivoal's ``denominator conjecture'' concerning the common denominators of coefficients of certain linear forms in zeta values. These forms were recently constructed to obtain lower bounds for the dimension of the vector space over $\mathbb Q$ spanned by $1,\zeta(m),\zeta(m+2),\dots,\zeta(m+2h)$, where $m$ and $h$ are integers such that $m\ge2$ and $h\ge0$. in particular, the authors immediately get the following results as corollaries: at least one of the eight numbers $\zeta(5),\zeta(7),\dots,\zeta(19)$ is irrational, and there exists an odd integer $j$ between $5$ and $165$ such that $1$, $\zeta(3)$ and $\zeta(j)$ are linearly independent over $\mathbb{Q $. This strengthens some recent results. The authors also prove a related conjecture, due to Vasilyev, and as well a conjecture, due to Zudilin, on certain rational approximations of $\zeta(4)$. The proofs are based on a hypergeometric identity between a single sum and a multiple sum due to Andrews. The authors hope that it will

Contents:

Intro

Table des matières

Remerciements

Chapitre 1. Introduction et plan de l'article

Chapitre 2. Arrière plan

2.1. Le Théorème d'Apéry

2.2. L'indépendance linéaire d'une infinite de ζ impairs et la transcendance de π

2.3. À la recherche d'un irrationnel parmi ζ(5), ζ(7), etc.

2.4. La conjecture des dénominateurs

2.5. Les intégrates de Vasilyev

Chapitre 3. Les résultats principaux

Chapitre 4. Conséquences diophantiennes du Théorème 1

Chapitre 5. Le principe des demonstrations des Théorèmes 1 à 6

Chapitre 6. Deux identités entre une somme simple et une somme multiple

Chapitre 7. Quelques explications

Chapitre 8. Des identités hypergéométrico-harmoniques

Chapitre 9. Corollaires au Théorème 8

Chapitre 10. Corollaires au Théorème 9

Chapitre 11. Lemmes arithmétiques

Chapitre 12. Démonstration du Théorème 1, partie i)

Chapitre 13. Démonstration du Théorème 1, partie ii)

Chapitre 14. Démonstration du Théorème 3, partie i), et des Théorèmes 4 et 5

Chapitre 15. Démonstration du Théorème 3, partie ii), et du Théorème 6

Chapitre 16. Encore un peu d'hypérgéometrie

Chapitre 17. Perspectives

17.1. Les séries asymétriques de Zudilin

17.2. La conjecture des dénominateurs liée aux valeurs de la fonction beta

17.3. La (q-conjecture des dénominateurs

17.4. La version non-terminée des identités gigantesques

Bibliographie.

Notes:

"Volume 186, Number 875 (end of volume)."

Includes bibliographical references.

Description based on print version record.

ISBN:

1-4704-0479-6